Três Barras Articuladas

Neste segundo tutorial queremos explorar a dinâmica de um mecanismo articulado simples. Em particular vai aprender a construir barras com o mesmo comprimento. Também aprenderá a produzir o lugar geométrico descrito pelo movimento de um ponto.

Construindo uma barra

Após iniciar Cinderella ou após apagar a configuração anterior mude para o modo "Circunferência pelo raio" premindo o botão . Este modo usa-se para criar circunferências cujos raios são constantes, mas cujos centros podem mover-se. Desloque o ponteiro sobre a vista. Prima o botão esquerdo. Mantenha-o premido enquanto arrasta o rato. Largue-o. Com esta acção acabou de criar uma circunferência. Mude para o modo "mover" para explorar o seu comportamento. Quando desloca o centro, a circunferência move-se também, mantendo o raio constante. Também pode seleccionar e mover a circunferência, neste caso o centro permanece e o raio varia.

Fig. 1: Primeira circunferência

Queremos agora acrescentar um ponto que deve permanecer na circunferência. Seleccione o modo "Criar ponto". Desloque o ponteiro sobre a vista. Com o botão esquerdo premido, mova o ponteiro até à circunferência, quando esta estiver realçada, largue o botão do rato. Criou um ponto que pertence à circunferência. Alternativamente, poderia ter clicado sobre a circunferência, mas teria menos controle, já que é difícil estar certo de estar exactamente sobre ela. A sua configuração deve agora ser semelhante à Fig. 1.

Mude para o modo "mover" para ver como este ponto se comporta. Se o seleccionar e mover ele nunca sairá da circunferência. Respeitando esta restrição ele tentará estar tão próximo do ponteiro do rato quanto possível. Quando move o centro da circunferência, ou altera o raio desta, o ponto permanece sobre ela. Além disso ele mantém também o seu ângulo relativamente ao centro.

Seleccione o modo "Criar recta" e crie uma linha do centro ao ponto anterior. Mantenha esta recta realçada. Abra o Editor de Aspecto e transforme-a num segmento premindo (ver Fig. 2).

Fig. 2: Uma barra

Esta linha agora comporta-se como uma barra com comprimento fixo, que é dado pelo raio da circunferência. A única forma de alterar o seu comprimento é mudar o raio da circunferência.

Acrescentando duas Novas Barras

Pretendemos agora acrescentar mais duas barras para completar o mecanismo que viu na secção 2.1.2 da introdução. O mecanismo articulado é uma cadeia de três barras ligadas com os extremos fixos. Mude para o modo "Circunferência pelo raio" e acrescente uma circunferência à direita da anterior, de forma a não se intersectarem.

O raio desta segunda circunferência dará o comprimento da terceira barra (se bem que ainda não tenhamos criado a segunda). Antes de finalizar a construção vale a pena analisar a situação. Se, na nossa construção, os pontos B e C fossem ligados por duas barras de comprimento fixo, não haveria grande liberdade de movimento para o ponto comum a essas duas barras. Na verdade só haveria duas posições possíveis para ele. Elas são dadas pela intersecção de duas circunferências: uma com centro C, já desenhada, outra centrada em B.

Fig. 3: Outras duas circunferências

No próximo passo desenhe uma circunferência em torno de B, usando o modo "Circunferência pelo raio". Certifique-se que o raio é suficientemente grande para que a circunferência intersecte também a centrada em C. Este estádio da construção é ilustrado na Fig. 3. Finalmente, no modo "Criar recta", crie uma recta contendo B e um dos pontos de intersecção das circunferências de centros B e C.

Fig. 4: As três barras

Este novo ponto é automaticamente etiquetado com a letra D. Repare que este ponto não é livre já que depende das posições de A, B e C, e ainda dos raios das circunferências.

Termine a construção acrescentando a barra de C para D. Provavelmente já obtém um segmento em vez de uma recta, visto que usou este opção do Editor de Aspecto anteriormente. Caso contrário seleccione a recta obtida e transforme-a num segmento mediante a operação referida. O seu desenho deverá ser semelhante à Fig. 4.

Movendo a Construção

Os comprimentos das barras são determinados pelos raios das circunferências. Seleccione o modo "mover" e brinque com a construção. Algo interessante ocorre quando move o ponto B, o ponto na nossa primeira circunferência.

Fig. 5: As barras são demasiado curtas

Primeiro, note que a construção tem exactamente um grau de liberdade quando se move B. Movendo-o induz-se um comportamento à construção que lembra um mecanismo mecânico. Podemos entender o movimento de B como uma "força motriz" da construção. Há posições de B para as quais as barras são demasiado curtas (ver Fig. 5), o que significa que as circunferências não se intersectam. Nestes casos os segmentos e as intersecções desaparecem.

Fig. 6: Após o retorno

Algo muito interessante, e fácil de passar despercebido, acontece quando o ponto B retorna à posição inicial, onde as circunferências se intersectam: o outro ponto de intersecção é escolhido; a engrenagem assume a outra forma possível. Experimente várias vezes para obter sensibilidade para esta situação. Mova o ponto B para a frente e para trás, de forma a que as barras desapareçam e reapareçam. Este comportamento parece contra-intuitivo, ao princípio, mas é exactamente o que deve ser. Imagine que as barras têm existência física, que são de madeira ou de ferro, por exemplo. Elas teriam então uma certa massa. O que aconteceria se, após mover B, se largasse o sistema, e este se movesse somente devido à inércia? As duas barras que evanescem chegariam a ser colineares, altura em que o ponto D passaria para o outro lado, e a construção teria o aspecto da outra configuração possível.

Iniciando uma Animação

Se ainda não acredita que este é o comportamento natural, , escolha o modo "Animar" premindo . Na linha por baixo da vista é-lhe pedido um "elemento móvel". No nosso caso queremos que B seja o ponto móvel. Clique B. Como B só dispõe de um grau de liberdade, é óbvio o seu deslocamento e a animação começa de imediato. Caso contrário ser-lhe-ia perguntada qual a "estrada" sobre a qual B se deve mover. Na nossa construção é claro que a estrada é a primeira circunferência.

Surge uma janela com controles da animação. Tem botões como um leitor de CDs para começar, parar e pausar a animação, e uma escala móvel para controlar a velocidade. Em particular, dispõe de um botão "Saída" para abandonar o modo "Animar".

Disfrute a animação por um momento. Observe que o ponto B só se move numa região em relação à qual as barras são suficientemente longas. Ele "sabe" quando mudar de direcção. Cinderella tenta modelar a situação real. O programa não coloca massas nos pontos, mas usa métodos de Análise Complexa para intuir o comportamento correcto. Abandone agora a animação premindo o botão "Saída" no Controlador de Animação. Este controle desaparece e a animação cessa.

Desenhando um Lugar Geométrico

Agora pretendemos descobrir como se move o ponto médio da segunda barra durante a animação. Comecemos por criar este ponto. Escolha o modo ponto médio . Usando uma sequência premir/arrastar/largar pode criar o ponto médio de qualquer par de pontos. Clique sobre D. Com o botão premido mova o ponteiro para B. Largue o botão. O ponto médio está criado.

Agora seleccione o modo "Lugar geométrico" . Este modo pressupõe que escolha três elementos: um "móvel", uma "estrada" e um "marcador", por esta ordem. O móvel é a força motriz. A estrada, literalmente o caminho que o móvel deve percorrer, tem de ser um elemento incidente com o móvel. O marcador é o ponto cujo trajecto vamos calcular.

Clique no móvel, B. Cinderella reconhece que este ponto tem uma única possibilidade para estrada e selecciona a respectiva circunferência. Finalmente o ponto E deve ser escolhido para marcador. Após um segundo o lugar geométrico é criado automaticamente. Pode mudar para o modo "Mover" e observar como o lugar geométrico muda quando se movem os elementos livres.

Fig. 7: Construindo um lugar geométrico

Se seleccionar o modo "Animar" de novo e clicar no lugar geométrico, poderá observar come este é criado.