Medições

Medir é uma parte importante da geometria, talvez esteja mesmo na sua origem. Cinderella tem modos para medir distância, ângulos e áreas. Os respectivos comportamentos, pelo menos em Geometria Euclidena, são relativamente simples:

• Seleccione dois pontos e obtém a distância entre eles.
• Seleccione duas rectas e obtém o ângulo entre elas.
• Seleccione um polígono, circunferência ou cónica e obtém a respectiva área (áreas dos respectivos interiores).

Para a maioria das aplicações isto é tudo que precisa de saber. Contudo, como de costume, há uma grande quantidade de detalhes que, por vezes, complicam. Se lidar com uma geometria não euclideana, a respectiva definição constitui numa forma estranha de efectuar medições. O que se passa está descrito em pormenor na secção Bastidores. Para já basta que saiba que em geometrias não euclideanas as medições são diferentes do usual. Os valores das distâncias e dos ângulos podem até ser números complexos. Estes valores podem ser calculados com a teoria das geometrias de Cayley-Klein. O tratamento de medições de uma forma tão geral é uma das características fundamentais do Cinderella. Não se deve preocupar com o estranho comportamento das medições em geometrias não euclideanas. Talvez o melhor para compreender seja recriar-se com diferentes construções para experimentar alguns destes aspectos. Fornecer intuição sobre geometrias não euclideanas é um dos objectivos do Cinderella.

Outro aspecto curioso é a medição de áreas. Cinderella pode medir áreas de polígonos e de cónicas. Em ambos os casos há aspectos a merecer especial atenção. É fácil definir a área de um polígono que não se sobrepõe sobre si mesmo. mas o que acontece se se autosobrepuser? A abordagem do Cinderella consiste em usar uma fórmula geral e consistente para a área. As áreas são computadas relativamente a uma orientação. A contribuição de um ponto interior a um polígono para a sua área depende de quantas vezes a fronteira do polígono o envolve.

A área das cónicas também é um tópico delicado. É fácil definir a área de uma elipse. Mas, o que é a área de uma hipérbole? Será infinita? Será indefinida? será algo de completamente diferente? Cinderella elege uma abordagem algébrica que tenta usar uma só fórmula em todas as situações. Acontece que a área de uma hipérbole é descrita mais apropriadamente por um número complexo. Portanto, se calcular áreas de cónicas, não se surpreenda se surgirem números complexos.

Nota

As medições são mostradas como texto. Podem ser utilizadas como "objectos de texto", portanto podem ser arrastadas e reposicionadas. Consulte a descrição do modo Criar texto para saber mais sobre isto.

Distância

Medir distância em Cinderella é muito semelhante a desenhar uma recta no modo "Criar recta". Deve seleccionar os dois pontos cuja distância quer calcular. Isto faz-se com uma única sequência premir/arrastar/largar do rato.

• Coloque o ponteiro do rato sobre o primeiro ponto e prima o botão esquerdo do rato.
• Arraste o ponteiro, sempre com o botão premido, até atingir o segundo ponto. Enquanto se move está visível uma régua com a distância ao ponto inicial.
• A régua cai sobre os pontos seleccionados. Se o segundo ponto está seleccionado pode largar o botão do rato.

Premir botão: um ponto é seleccionado.	Arrastar o rato: aparece uma régua.	Arrastar o rato: seleccionar segundo ponto.	Largar o rato: criada a medição.

Resumo

Medir a distância entre dois pontos mediante uma sequência premir/arrastar/largar.

Atenção

A definição de distância depende da geometria (euclideana, hiperbólica, elíptica). Em Geometria Hiperbólica as distâncias podem ser números complexos.

Ângulo

Este modo é usado para determinar o ângulo entre duas rectas. A aplicação deste modo requer um pouco de cuidado. Duas rectas não definem um ângulo, definem dois, um ângulo e o seu complementar. Para ter este facto em consideração, o modo "Ângulo" está munido de um mecanismo de selecção sensível à posição. Para medir um ângulo duas rectas devem ser seleccionadas. Para saber que ângulo se está a escolher há três pontos relevantes: o ponto onde ocorre o primeiro clique, correspondente à primeira selecção, o ponto do segundo clique, correspondendo à segunda selecção, e a intersecção das rectas. Imagine um triângulo formado por estes três pontos. O ângulo interno na intersecção das rectas será medido. Isto é o que intuitivamente esperávamos.

Cinderella simplifica o processo de selecção fornecendo sugestões visuais que mostram os ângulos a medir.

Primeira selecção: uma recta é realçada. O ponto seleccionado é memorizado.	Movendo o rato: aparecem sugestões que indicam o ângulo que será medido.	Segunda selecção: O ângulo é medido.

Resumo

Medir o ângulo entre duas rectas.

Atenção

A definição de ângulo depende da geometria (euclideana, hiperbólica, elíptica). Em Geometria Hiperbólica a medida de um ângulo pode ser um número complexo.

Área

Neste modo pode medir áreas de polígonos e de cónicas. Para medir a área de um polígono basta clicar no seu interior. Para medir a área de uma cónica basta seleccioná-la. Em particular pode usar este modo para medir a área de um círculo.

Resumo

Seleccionar um polígono ou uma cónica e obter a sua área.

Atenção

Áreas de hipérboles são números complexos.

A contribuição de um ponto para uma área depende do índice do polígono relativamente ao ponto. Em particular áreas podem ser números negativos, se a orientação do polígono for retrógrada. Se um polígono se sobrepuser a si mesmo pode ter área nula.

Teorema de Pitágoras com medidas de áreas