Geometrias

Uma das principais características do Cinderella é o facto de suportar vários tipos de geometrias. Se o facto de existirem "vários tipos de geometrias" não lhe é familiar, isto pode ser confuso. Deve então ler a secção Bastidores para se familiarizar com as ideias subjacentes e de como elas estão implementadas no Cinderella. Aos leitores que possuem já alguns conhecimentos básicos sobre geometrias euclidiana e não euclidianas esta referência basta.

Outro aviso: Não confunda geometrias com vistas - ambas têm tipos homólogos, mas a geometria define o comportamento dos elementos, enquanto a vista determina a respectiva apresentação.

Tipos de geometrias

Em cada uma das janelas principais do Cinderella encontra três botões para escolher o tipo de geometria. A presente versão do Cinderella fornece três tipos diferentes de geometria: Geometria Euclidiana, Geometria Hiperbólica e Geometria Elíptica. Pode trocar estas vistas entre si premindo os botões

• para Geometria Euclidiana.
• para Geometria Hiperbólica.
• para Geometria Elíptica.

A escolha de uma nova geometria não altera o comportamento dos elementos já construídos. Contudo, todos os novos elementos serão interpretados na nova geometria. Pode imaginar que cada elemento tem um registo que lhe diz a que geometria pertence. As noções básicas que são afectadas pela escolha da geometria são as medidas das distância e dos ângulos.

Contudo, outras construções são influenciadas por esta escolha. Por exemplo, a "bissectriz" é definida como sendo a recta que faz ângulos iguais com duas outras rectas. Se as medidas dos ângulos mudarem, a definição de bissectriz terá também de mudar. Efeito semelhante sofrem as "paralelas"e perpendiculares". Também a definição de circunferência é afectada pela escolha da geometria. Uma circunferência é o conjunto dos pontos à mesma distância do centro. Se o conceito de "distância" muda, também muda o de "circunferência".

Algumas noções não são afectadas pela escolha de geometria de forma nenhuma - a recta por dois pontos será sempre a mesma, não importa qual a geometria seleccionada.

A seguinte lista contém todas as construções que são influenciadas pela escolha da geometria. Note que a posição, como o número, dos elementos a construir, pode mudar.

• Distância: A noção de distância depende da geometria. Até pode acontecer que a distância entre dois pontos reais ser, em Geometria Hiperbólica, complexa, como acontece quando o segmento de recta que os une está completamente fora do horizonte.
• Ângulo: A noção de ângulo depende da geometria. Como sucede com distâncias, também os ângulos podem tornar-se números complexos.
• Circunferência: A noção exacta de circularidade depende da definição de "distância", que varia com a geometria. Isto influencia todos os modos de construção para as circunferências. Na vista euclidiana, circunferências hiperbólicas ou elípticas podem parecer cónicas arbitrárias. A figura pode ser clarificada nas outras vistas. na vista hiperbólica (disco de Poincaré) as circunferências hiperbólicas apresentam-se como circunferências usuais. Na vista esférica as circunferências elípticas são circunferências usuais sobre a superfície esférica.
• Espelho: A noção de reflexão depende das distâncias e dos ângulos, logo varia com a geometria. Todos os espelhos possíveis são influencidos.
• Bissectriz: Em todas as geometrias há duas bissectrizes. Contudo, as posições exactas dependem da geometria. Em Geometria Hiperbólica a bissectriz de rectas reais pode tornar-se complexa.
• Ponto médio: O ponto médio de dois pontos depende da definição de "distância". Em Geometria Euclidiana existe um único ponto médio. Nas geometrias hiperbólica e elíptica há dois pontos médios (pontos à mesma distância dos pontos dados). Atenção: Se estiver na vista hiperbólica só um destes pontos será visível, porque o outro está para lá do horizonte.
• Recta com ângulo fixo: Esta construção é influenciada pela geometria porque envolve ângulos.
• Perpendicular: A noção de perpendicular depende da noção de "ângulo" e é influenciado pela escolha da geometria.
• Paralela: No Cinderella paralelas a uma recta L são definidas como rectas que fazem ângulo nulo com L. Em Geometria Euclidiana há uma única paralela a L que passe por um ponto dado. Contudo, em Geometria Hiperbólica e em Geometria Elíptica há, em geral, duas. As paralelas em Geometria Elíptica têm usualmente coordenadas complexas, portanto só serão visíveis na vista "Texto de Construção".

Algumas operações, na presente versão do Cinderella, não são suportadas em todas as geometrias. Estas operações são Circunferência por três pontos, Área e Centro, onde é sempre calculado o resultado euclidiano .

Vistas e geometrias

Embora qualquer vista se possa usar com qualquer geometria, algumas combinações são um pouco mais comuns que outras. Eis uma pequena lista do que estas escolhas representam.

• Vista Euclidiana na Geometria Euclidiana:
  Esta deve ser a escolha mais comum. Os elementos geométrico têm o comportamento "normal" num plano "normal".
• Vista Esférica em Geometria Euclidiana:
  Esta combinação permite controlar o comportamento no infinito do plano euclidiano. A vista esférica representa uma cobertura dupla do plano euclidiano. A cada recta corresponde um meridiano e a cada ponto corresponde um par de pontos antípodas. A fronteira da vista esférica correspondem à "linha no infinito" do plano euclidiano.
• Vista Euclidiana em Geometria Hiperbólica:
  Aqui vê é o chamado "modelo de Beltrami-Klein" da geometria Hiperbólica. Neste modelo rectas hiperbólicas são mesmo rectas. Medições são efectuadas de acordo com a definição de geometria de Cayley-Klein. Na vista euclidiana o horizonte da geometria hiperbólica é representada por por uma circunferência fina.
• Vista Hiperbólica em Geometria Hiperbólica:
  Este é o chamado disco de Poincaré. Rectas hiperbólicas são representadas por arcos de circunferência ortogonais à fronteira do disco. O disco de Poincaré distorce o plano usual de forma a que os ângulos hiperbólicos entre rectas correspondem a ângulos "euclidianos" entre os correspondentes arcos de circunferência. Em termos matemáticos: "O disco de Poincaré é uma representação conforme do plano hiperbólico". Nesta figura circunferências hiperbólicas têm o aspecto de circunferências usuais.

  O disco representa somente parte do plano completo da correspondente geometria de Cayley-Klein. A parte visível corresponde à região dentro da circunferência mostrada na vista euclidiana.

  As medições são realizadas de forma a que a distância de qualquer ponto interior a outro na fronteira seja infinita.

• Vista Esférica em Geometria Elíptica:
  A vista esférica á a natural para a Geometria Elíptica. O ângulo entre duas rectas corresponde ao ângulo esférico dos correspondentes meridianos. Medições de distâncias correspondem a medições de distâncias geodésicas na superefície esférica. Circunferências elípticas correspondem a circunferências na superfície esférica.

  Contudo, temos de ser cautelosos. Geometria Elíptica não é o mesmo que Geometria Esférica (geometria na superfície esférica). Isto advém do facto de pontos antípodas serem identificados em Geometria Elíptica.