Problemas

A.

Para cada um dos conjuntos de premissas seguintes atribua letras às proposições atómicas para traduzir para a linguagem do cálculo proposicional.

Decida sobre a consistência de cada um. Em caso de consistência atribua valores de verdade às proposições atómicas de forma a que as premissas sejam todas verdadeiras; caso contrário deduza formalmente uma contradição.

1. Se o Óscar estudar passa a Lógica. Se não estudar também passa. Contudo o Óscar não passa a Lógica.
2. Se o Óscar estudar ele passa a Lógica ou a Matemática. Contudo, o Óscar não estuda, mas passa a Lógica ou a Matemática.
3. Se a Maria estudar e o Óscar não a distrair, a Maria passa a Lógica e a Matemática. O Óscar não distrai a Maria. Contudo, a Maria chumba a matemática.
4. Se o Óscar estudar ele acaba o curso este semestre ou no próximo. Se acabar este semestre ele vai fazer um mestrado. Se acabar no próximo ele não vai fazer um mestrado. O Óscar estuda.
5. Se a Maria estudar ela vai acabar o curso. Se ela acabar o curso vai fazer um mestrado e casar-se. Se for fazer um mestrado a Maria não terá filhos este ano, mas se se casar então terá filhos este ano. A Maria não estuda mas acaba o curso.
6. A Maria acaba o curso a menos que se case. A Maria vai trabalhar se e só se se casar. Se ela for trabalhar então não pode ajudar a Ana nos trabalhos de casa. Se a Maria não ajudar a Ana nos trabalhos de casa, a Ana não acaba o curso. A Maria acaba o curso se e só se a Ana não acabar.
7. Se o Óscar estudar para o exame então ele não vai às docas na sexta-feira. Se o Óscar não estudar para o exame então ele não acaba o curso. Se ele não acabar o curso então não arranja emprego. Se o Óscar não for às docas na sexta-feira ele não encontrará a Ana. Contudo o Óscar arranja emprego e encontra a Ana.
8. Se o Óscar e a Virgínia têm a mesma idade então o Jorge e a Maria não têm a mesma idade. O Óscar e a Virgínia têm a mesma idade ou o Óscar é mais velho que a Virgínia. Se o Óscar é mais velho que a Virgínia então ele é mais velho que a Maria. Não é verdade que se o Jorge e a Maria tiverem a mesma idade então o Óscar é mais velho que a Maria.
9. Se o Óscar e o Jorge acabarem os seus cursos, então um deles vai arranjar emprego. Se o Óscar arranjar emprego então o Jorge não. Se o Jorge acabar o curso então o Óscar não. Nenhum deles acabou o respectivo curso, mas um deles arranjou emprego.
10. Se o Óscar acabar o curso então o Jorge e a Virgínia também. Se o Óscar não acabar o curso então o Jorge acaba o curso e arranja um emprego. Se o Jorge acabar o curso então, se aranjar emprego, a Virgínia também arranja emprego. Se a Virgínia acabar o curso então o Jorge arranja emprego. Se a Virgínia arranjar emprego então o Jorge não acaba o curso.
11. Se e então . Se e então . Se e então . Contudo, sse e ou .
12. Se , então só se . Se e , então ou . Se então . Contudo, a não ser que .

    Nos exercícios seguintes considere uma frase do tipo "P é verdadeira" uma proposição atómica.

13. Se a proposição condicional é falsa então é verdadeira e é falsa. A proposição condicional é falsa.
14. Uma condição necessária e suficiente para a proposição condicional ser verdadeira é que ambas e sejam verdadeiras. Uma condição suficiente para ser falsa é que seja verdadeira. Uma condição necessária para a proposição condicional ser verdadeira é que seja verdadeira. Contudo, a proposição condicional é falsa.
15. Se é falsa a proposição condicional é da forma ou , conforme é verdadeira ou falsa, respectivamente. A proposição condicional é da forma se é verdadeira e é falsa, mas nem é verdadeira nem é da forma .
16. Se é verdadeira, a proposição condicional é da forma se é verdadeira, e da forma se é falsa. Se é falsa é falsa. Contudo, não é da forma , e é verdadeira.
17. Se é falsa a proposição condicional é verdadeira, e se é verdadeira a proposição condicional é verdadeira se for verdadeira. Uma condição suficiente para ser verdadeira é que seja verdadeira e seja falsa. Contudo, a proposição condicional é falsa.
18. Se a função é contínua no intervalo , então tem um máximo e um mínimo em desde que seja contínua em e . A função não tem um máximo em só se não for contínua em ; não tem um mínimo em só se não for contínua em . Se tem um máximo em então é contínua em , mas se tem um mínimo em então não é contínua em . Neste caso é contínua em .
19. A função é contínua em , é contínua em e , e tem um máximo em , mas não tem mínimo em . Se é contínua em , então tem um máximo e um mínimo em ou não é contínua simultaneamente em e .
20. Se é contínua em , então tem um máximo em se é contínua em , e tem um mínimo em se é contínua em . Se tem um máximo em , então não é contínua em . Se é contínua em então é contínua em e . Se tem um máximo em ou não tem um mínimo em , então é contínua em . Se é contínua em ou se não tem um máximo em , então é contínua em .

B.

Decida sobre a consistência dos seguintes conjuntos de premissas. Fundamente as suas respostas, isto é, no caso de consistência atribua valores de verdade às proposições atómicas que tornem todas as premissas verdadeiras, no caso de inconsistência deduza uma contradição ou use tabelas de verdade para mostrar que as premissas não podem ser simultaneamente verdadeiras.

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. , , ,
6. , , , ,
7. , , ,
8. , , , ,
9. , , , ,
10. , , ,
11. , , , , ,
12. , , , , , , ,
13. , , , , , , ,
14. , , , , , ,
15. , , , , , ,

C.

Num julgamento, quatro testemunhas--Artur Jorge, Belmiro de Azevedo, Cassius Clay e Desdémona-- prestam declarações.

i)

Determine, em cada caso, se os testemunhos são consistentes.

ii)

Se os inocentes falam verdade e os culpados mentem, determine, se possível, quem é culpado e quem é inocente.

1. Artur: O Belmiro ou o Cassius é culpado, mas eu estou inocente.

   Belmiro: Se a Desdémona é culpada então todos os outros somos inocentes.

   Cassius: Se o Belmiro é culpado eu sou inocente.

   Desdémona: O Artur ou o Belmiro é inocente.

2. Artur: Se o Belmiro ou o Cassius é inocente então eu també sou.

   Belmiro: o Artur é culpado, e o Cassius ou a Desdémona também.

   Cassius: Se o Belmiro é inocente então a Desdémona é culpada.

   Desdémona: Se o Belmiro é culpado então o Cassius é inocente;

3. Artur: Das duas, uma: ou o Belmiro é culpado e o Cassius é inocente ou o Belmiro é inocente e o Cassius é culpado.

   Belmiro: Se o Artur ou a Desdémona é inocente, então o Cassius também é.

   Cassius: O Artur ou o Belmiro é culpado, mas eu sou inocente.

   Desdémona: O Belmiro está inocente ou o Cassius é culpado se e s

4. Artur: Ou eu sou inocente ou a Desdémona é culpada.

   Belmiro: Se o Cassius é culpado então a Desdémona está inocente.

   Cassius: Se eu sou inocente então o Belmiro é culpado.

   Desdémona: Se o Artur está inocente então o Belmiro também.

5. Artur: A Desdémona está inocente ou o Belmiro é culpado.

   Belmiro: O Cassius é inocente ou a Desdémona é culpada.

   Cassius: O Artur está inocente ou ou a Desdémona é culpada, e o o Artur é culpado.

   Desdémona: o Artur está inocente se e só se ou o Belmiro ou o Cassius é inocente.

D.

Quatro pessoas--Amoruso, Bette Davis, Cantona, Drulovic--têm quatro profissões: Ladrão, Pescador, Treinador de leões, Vendedor de enciclopédia

i) Determine se as seguintes afirmações são consistentes. ii) Em caso afirmativo as profissões de cada um pode ser determinadas de forma única?

1. (a)

   V não é B nem C.

   (b)

   A não é P nem V.

   (c)

   B é V ou T.

   (d)

   C é V ou L.

2. (a)

   P não é A nem B.

   (b)

   T não é A nem D.

   (c)

   V não é A ou C.

   (d)

   B é V ou L.

3. (a)

   T não é A nem D.

   (b)

   V não é A nem B.

   (c)

   B é L ou P.

   (d)

   B é V ou L.

4. (a)

   A não é L.

   (b)

   B não é P.

   (c)

   C não é T.

   (d)

   D não é V.

   (e)

   V não é A nem B.

   (f)

   L não é C nem D.

   (g)

   T não é A nem D.

5. (a)

   L não é A nem D.

   (b)

   P não é B nem C.

   (c)

   T não é B nem C.

   (d)

   V não é C nem D.

E.

Estamos na ilha FaVe, cujos habitantes são de dois tipos--mentirosos (Fas) e verdadeiros (Ves). Os mentirosos mentem sempre, os verdadeiros nunca mentem.

1. Encontramos três nativos--R, S, T--que dizem o seguinte:

   (a)

   R:

   Somos todos Ves.

   S:

   Exactamente um de nós é um Ve.

   T:

   Exactamente dois de nós são Ves.

   (b)

   R:

   Nenhum de nós é Ve.

   S:

   Exactamente um de nós é Ve.

   (c)

   R:

   S e T são do mesmo tipo.

   S:

   Eu e T somos Ves.

   T:

   S é Fa.

   (d)

   R:

   S e T são Fas.

   S:

   R é Ve.

   T:

   R é Ve.

   (e)

   R:

   S e T não são do mesmo tipo.

   S:

   R é um Ve.

   T:

   R é um Ve.

   Pode determinar-se, em cada caso, o tipo de cada pessoa? Justifique.
2. De novo em FaVe encontrmos três nativos--U, V, W-- e perguntamos-lhes: Quantos de vós sois Ves? A primeira pessoa a responder, U, fá-lo na sua língua, que nós não entendemos. Depois...

   (a)

   V:

   U disse "Exactamente um de nós é um Ve".

   W:

   Não acreditem em V, V é um Fa.

   (b)

   V:

   U disse "Exactamente um de nós é um Ve".

   W:

   V disse a verdade.

   (c)

   V:

   U disse "Todos somos Ves".

   W:

   Isso é mentira, V é um Fa.

   (d)

   V:

   U disse "Nenhum de nós é um Ve".

   W:

   Se V mentiu então U é um Ve.

   (e)

   V:

   U disse "V e W são Ves".

   W:

   V não disse a verdade.

   Em cada caso decida se o tipo de V e de W podem ser determinados de forma única.
3. Uma mutação genética aconteceu em FaVe: nasceu uma criança, o Sinão, que mente e diz a verdade alternadamente. Nunca s

   (a)

   Encontramos três crianças na ilha--X, Y e Z--e sabemos que uma delas é o Sinão, outra é um Ve e a outra um Fa, mas não sabemos qual é qual. X diz três frases

   X:

   Eu sou o Sinão.

   X:

   Y é um Fa.

   X:

   Z é um Ve.

   Pode determinar-se o tipo de cada criança?

   (b)

   O Sinão tem três irmãos--i1, i2, i3. Em cada sequência de frases cada uma destas crianças mente exactamente uma vez, mas não sabemos de antemão quando estão a mentir. Um dia as bolachas não estavam na caixa habitual...Os testemunhos foram os seguintes.

   i1:

   • i1 e i2 roubaram bolachas.
   • O Sinão também roubou bolachas, mas eu não.

   i2:

   • Eu não roubei nenhuma bolacha, mas o Sinão roubou.
   • i1 roubou algumas bolachas.

   i3:

   • i2 roubou algumas bolachas mas o i3 não.
   • Eu não roubei nenhuma bolacha.

   Pode determinar-se quais as crianças que assaltaram a caixa das bolachas?

   (c)

   Sobre um dia escolar do Sinão os seus irmãos disserem o seguinte.

   i1:

   • Foi à aula de Matemática.
   • Não foi à aula de História.
   • Não foi à aula de Biologia.

   i2:

   • Foi à aula de História.
   • Foi à aula de Inglês.
   • Não foi à aula de Matemática.

   i3:

   • Foi à aula de Matemática.
   • Foi à aula de História.
   • Não foi à aula de Inglês.

   Assumindo que cada criança mentiu exactamente uma vez, a que aulas assistiu o Sinão?

   (d)

   Sobre um exame de Matemática disseram as criancinhas o seguinte.

   i1:

   • A minha nota é menor que a do i2.
   • i2 teve 70.
   • i3 teve 30 mais do que o i2.

   i2:

   • Tirei 60.
   • Tirei 20 menos do que o i3.
   • Tirei 10 mais do que o i1.

   i3:

   • A minha nota é maior do que a do i2.
   • A minha nota é 30 mais do que a de i1.
   • A nota do i2 é 70.

   Determine, se possível, a nota de cada petiz.

   (e)

   Os pais perguntaram: Quantos rebuçados tem cada um de vocês?

   i1:

   • O i2 tem sete.
   • Eu tenho menos do que o i2.
   • O i3 tem três mais do que o i2.

   i2:

   • Eu tenho seis.
   • Tenho menos dois do que o i3.
   • Tenho mais um do que o i1.

   i3:

   • Não sou o que tem menos.
   • Tenho mais três do que o i1.
   • O i1 tem nove.

   Quantos rebuçados tem cada criança, assumindo que cada uma mente exactamente uma vez?