Problemas

A.

Para cada um dos seguintes pares de frases, use tabelas de verdade para decidir se se tem

i)

(a) (b),

ii)

(b) (a),

iii)

(a) (b),

iv)

nenhuma das anteriores.

1. (a) ,(b) .
2. (a) , (b) .
3. (a) , (b)
4. (a) , (b) .
5. (a) , (b) .
6. (a) , (b) .
7. (a) , (b) .
8. (a) , (b) .
9. (a) , (b) .
10. (a) , (b)
11. (a) , (b) .
12. (a) , (b) .

B.

Cada uma das seguintes fórmulas é uma tautologia que se obtém por intermédio de uma substituição numa das tautologias úteis que listámos. Em cada caso identifique a tautologia utilizada e a correspondente substituição.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

C.

Traduza cada um dos argumentos seguintes para notação lógica, usando as letras sugeridas para as proposições atómicas. Decida sobre a validade de cada um usando tabelas de verdade.

1. Se o Óscar está na aula então a Maria ou a Virgínia também. A Maria não está na aula. Logo a Virgínia está na aula se o Óscar está na aula. (O, M, V).
2. Se o Óscar está na aula a Maria também, e se a Maria está na aula o Gato também está. O Óscar está na aula a menos que o Gato esteja na aula. Logo a Maria não vai à aula. (O, M, G).
3. Se o Óscar vai à aula então a Virgínia vai à aula só se o Gato vai à aula. O Gato vai à aula. Logo se o Óscar vai à aula a Virgínia também. (O, V, G).
4. Se o Óscar e o Gato vão ambos à aula a Virgínia também vai. O Gato vai à aula. Logo ou a Virgínia vai à aula ou o Óscar não vai à aula. (O, G, V).
5. Se O Óscar e o Gato vão à aula então ou a Maria ou a Virgínia vai à aula. Não é verdade que ou o Óscar ou a Maria vai à aula. Logo ou o Óscar ou a Virgínia vai à aula. (O, G, M, V).
6. Se o Óscar e o Gato vão à aula então a Maria e a Virgínia também vão. Não é verdade que o Gato vá à aula só se a Virgínia for à aula. Logo o Óscar não vai à aula. (O, G, M, V).
7. Uma condição necessária e suficiente para o Óscar ir à aula é que a Maria ou a Virgínia vá à aula. Uma condição suficiente para a Virgínia ir à aula é que o Gato vá. Contudo, o Gato não vai à aula a não ser que a Maria vá, e a Virgínia vai só se o Óscar for. Logo a Virgínia vai à aula se e só se o Óscar for. (O, M, V, G).
8. Se o Óscar for à aula então nem a Maria nem a Virgínia vão. Se a Virgínia não for à aula então o Gato também não vai, mas se a Maria não for então o Gato vai. Logo o Óscar não vai à aula. (O, M, V, G).

D.

Construa uma prova formal para cada um dos argumentos válidos do problema C. Produza contra-exemplos para os argumentos não válidos.

E.

Usando tabelas de verdade decida sobre a validade dos seguintes argumentos.

1. Premissas:

   Conclusão: .

2. Premissas:

   Conclusão: .

3. Premissas:

   Conclusão: .

4. Premissas:

   Conclusão: .

5. Premissas:

   Conclusão: .

   Conclusão: .

6. Premissas:

   Conclusão: .

7. Premissas:

   Conclusão: .

F.

Construa uma prova formal para cada um dos argumentos válidos do problema E. Produza contra-exemplos para os argumentos não válidos.

G.

Utilizando letras para as proposições atómicas, traduza cada um dos argumentos seguintes em notação lógica. Se o argumento é válido, prove-o formalmente, caso contrário exiba um contra-exemplo.

1. Se e então . É verdade que , mas não se tem . Logo é falso.
2. Se então uma condição necessária e suficiente para é que . É verdade que se tem . Logo .
3. Se e então , e se mas , então . Logo se e só se .
4. Se e , então . Se e , então . Acontece que e . Logo só se .
5. Uma condição necessária e suficiente para é que . Além disso, se , então . Logo sse .
6. Se e então . Se , então se tem-se . Se então ou se tem e , ou e . Se e então . Logo, uma condição necessária e suficiente para é que sse .
7. ou . Tem-se também que se e ou se e . Logo, se não se tiver simultaneamente e então .
8. 1. Defina-se uma função por

      Logo ou .

      [Sugestão: Seja Z: ; X: ; F: ].

   2. Defina-se uma função por

      onde foi definida na alínea anterior. Assuma que ou . Logo ou .

      [Sugestão: Se Z: e T: , então é . Seja X: ; F: ; S: ].

   3. Seja a função definida acima. Assuma que nem nem . Logo .
9. Se é contínua em , então tem um máximo em se estiver definida em . Se não estiver definida em , então existe um ponto entre e tal que para todo o . Se existe um tal ponto entre e tal que para todo o , então tem um máximo em .
   1. Logo tem um máximo em .
   2. Logo, se é contínua em , então tem um máximo em .
   [Use as letras C, M, D, B para as proposições atómicas].
10. Uma condição necessária para ter um máximo em é que seja contínua em e esteja definida em . Uma condição necessária e suficiente para ter um máximo em é que exista um ponto entre e tal que para todo o . De facto, existe um ponto entre e tal que para todo o . Logo é contínua em e está definida em . [Use as letras do problema 9].
11. Se é substituído por um e dois na desigualdade , obtemos e , respectivamente. Contudo , mas . Logo não substituímos por um na desigualdade , mas sim por dois. [Use as letras A, B, C: , e D: para as proposições atómicas].
12. Se é substituído por um e dois na desigualdade , obtemos e , respectivamente. Contudo não se tem mas . Logo não substituímos por um e por dois na desigualdade . [Use as letras do problema 11].

H.

Dê uma prova formal de cada um dos argumentos válidos seguintes.

1. Premissas:

   Conclusão: .

2. Premissas:

   Conclusão: .

3. Premissas:

   Conclusão: .

4. Premissas:

   Conclusão: .

5. Premissas:

   Conclusão: .

6. Premissas:

   Conclusão: .

7. Premissas:

   Conclusão: .

8. Premissas:

   Conclusão: .

9. Premissas:

   Conclusão: .

10. Premissas:

    Conclusão: .

11. Premissas:

    Conclusão: .

12. Premissas:

    Conclusão: .