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Problemas

A.
Para cada um dos seguintes pares de frases, use tabelas de verdade para decidir se se tem
i)
(a) tex2html_wrap1350 (b),
ii)
(b) tex2html_wrap1350 (a),
iii)
(a) tex2html_wrap1352 (b),
iv)
nenhuma das anteriores.
  1. (a) tex2html_wrap1353 ,(b) tex2html_wrap1354 .
  2. (a) tex2html_wrap1355 , (b) tex2html_wrap1356 .
  3. (a) tex2html_wrap1357 , (b) tex2html_wrap1358
  4. (a) tex2html_wrap831 , (b) tex2html_wrap1360 .
  5. (a) tex2html_wrap831 , (b) tex2html_wrap1362 .
  6. (a) tex2html_wrap1363 , (b) tex2html_wrap1364 .
  7. (a) tex2html_wrap1365 , (b) tex2html_wrap1366 .
  8. (a) tex2html_wrap1367 , (b) tex2html_wrap1368 .
  9. (a) tex2html_wrap1369 , (b) tex2html_wrap1368 .
  10. (a) tex2html_wrap1371 , (b) tex2html_wrap1372
  11. (a) tex2html_wrap1373 , (b) tex2html_wrap1374 .
  12. (a) tex2html_wrap1375 , (b) tex2html_wrap1376 .
B.
Cada uma das seguintes fórmulas é uma tautologia que se obtém por intermédio de uma substituição numa das tautologias úteis que listámos. Em cada caso identifique a tautologia utilizada e a correspondente substituição.
  1. tex2html_wrap1377 .
  2. tex2html_wrap1378 .
  3. tex2html_wrap1379 .
  4. tex2html_wrap1380 .
  5. tex2html_wrap1381 .
  6. tex2html_wrap1382 .
  7. tex2html_wrap1383 .
  8. tex2html_wrap1384 .
  9. tex2html_wrap1385 .
  10. tex2html_wrap1386 .
C.
Traduza cada um dos argumentos seguintes para notação lógica, usando as letras sugeridas para as proposições atómicas. Decida sobre a validade de cada um usando tabelas de verdade.
  1. Se o Óscar está na aula então a Maria ou a Virgínia também. A Maria não está na aula. Logo a Virgínia está na aula se o Óscar está na aula. (O, M, V).
  2. Se o Óscar está na aula a Maria também, e se a Maria está na aula o Gato também está. O Óscar está na aula a menos que o Gato esteja na aula. Logo a Maria não vai à aula. (O, M, G).
  3. Se o Óscar vai à aula então a Virgínia vai à aula só se o Gato vai à aula. O Gato vai à aula. Logo se o Óscar vai à aula a Virgínia também. (O, V, G).
  4. Se o Óscar e o Gato vão ambos à aula a Virgínia também vai. O Gato vai à aula. Logo ou a Virgínia vai à aula ou o Óscar não vai à aula. (O, G, V).
  5. Se O Óscar e o Gato vão à aula então ou a Maria ou a Virgínia vai à aula. Não é verdade que ou o Óscar ou a Maria vai à aula. Logo ou o Óscar ou a Virgínia vai à aula. (O, G, M, V).
  6. Se o Óscar e o Gato vão à aula então a Maria e a Virgínia também vão. Não é verdade que o Gato vá à aula só se a Virgínia for à aula. Logo o Óscar não vai à aula. (O, G, M, V).
  7. Uma condição necessária e suficiente para o Óscar ir à aula é que a Maria ou a Virgínia vá à aula. Uma condição suficiente para a Virgínia ir à aula é que o Gato vá. Contudo, o Gato não vai à aula a não ser que a Maria vá, e a Virgínia vai só se o Óscar for. Logo a Virgínia vai à aula se e só se o Óscar for. (O, M, V, G).
  8. Se o Óscar for à aula então nem a Maria nem a Virgínia vão. Se a Virgínia não for à aula então o Gato também não vai, mas se a Maria não for então o Gato vai. Logo o Óscar não vai à aula. (O, M, V, G).
D.
Construa uma prova formal para cada um dos argumentos válidos do problema C. Produza contra-exemplos para os argumentos não válidos.
E.
Usando tabelas de verdade decida sobre a validade dos seguintes argumentos.
  1. Premissas: tex2html_wrap1387

    Conclusão: tex2html_wrap1388 .

  2. Premissas: tex2html_wrap1389

    Conclusão: tex2html_wrap1390 .

  3. Premissas: tex2html_wrap1391

    Conclusão: tex2html_wrap1392 .

  4. Premissas: tex2html_wrap1393

    Conclusão: tex2html_wrap1394 .

  5. Premissas: tex2html_wrap1395

    Conclusão: tex2html_wrap1396 .

    Conclusão: tex2html_wrap1397 .

  6. Premissas: tex2html_wrap1398

    Conclusão: tex2html_wrap1399 .

  7. Premissas: tex2html_wrap1400

    Conclusão: tex2html_wrap1401 .

F.
Construa uma prova formal para cada um dos argumentos válidos do problema E. Produza contra-exemplos para os argumentos não válidos.
G.
Utilizando letras para as proposições atómicas, traduza cada um dos argumentos seguintes em notação lógica. Se o argumento é válido, prove-o formalmente, caso contrário exiba um contra-exemplo.
  1. Se tex2html_wrap1402 e tex2html_wrap1403 então tex2html_wrap1404 . É verdade que tex2html_wrap1402 , mas não se tem tex2html_wrap1404 . Logo tex2html_wrap1403 é falso.
  2. Se tex2html_wrap1408 então uma condição necessária e suficiente para tex2html_wrap1409 é que tex2html_wrap1410 . É verdade que se tem tex2html_wrap1410 . Logo tex2html_wrap1409 .
  3. Se tex2html_wrap1408 e tex2html_wrap1409 então tex2html_wrap1410 , e se tex2html_wrap1416 mas tex2html_wrap1409 , então tex2html_wrap1418 . Logo tex2html_wrap1408 se e só se tex2html_wrap1410 .
  4. Se tex2html_wrap1421 e tex2html_wrap1422 , então tex2html_wrap1402 . Se tex2html_wrap1424 e tex2html_wrap1402 , então tex2html_wrap1426 . Acontece que tex2html_wrap1421 e tex2html_wrap1424 . Logo tex2html_wrap1422 só se tex2html_wrap1426 .
  5. Uma condição necessária e suficiente para tex2html_wrap1403 é que tex2html_wrap1432 . Além disso, se tex2html_wrap1433 , então tex2html_wrap1434 . Logo tex2html_wrap1403 sse tex2html_wrap1436 .
  6. Se tex2html_wrap1421 e tex2html_wrap1438 então tex2html_wrap1439 . Se tex2html_wrap1439 , então se tex2html_wrap1441 tem-se tex2html_wrap1442 . Se tex2html_wrap1443 então ou se tem tex2html_wrap1421 e tex2html_wrap1441 , ou tex2html_wrap1442 e tex2html_wrap1438 . Se tex2html_wrap1439 e tex2html_wrap1438 então tex2html_wrap1421 . Logo, uma condição necessária e suficiente para tex2html_wrap1439 é que tex2html_wrap1421 sse tex2html_wrap1438 .
  7. tex2html_wrap1421 ou tex2html_wrap1441 . Tem-se também que tex2html_wrap1439 se tex2html_wrap1421 e tex2html_wrap1438 ou se tex2html_wrap1441 e tex2html_wrap1442 . Logo, se não se tiver simultaneamente tex2html_wrap1421 e tex2html_wrap1441 então tex2html_wrap1439 .
    1. Defina-se uma função tex2html_wrap1464 por

      Logo tex2html_wrap1465 ou tex2html_wrap1466 .

      [Sugestão: Seja Z: tex2html_wrap1467 ; X: tex2html_wrap1465 ; F: tex2html_wrap1466 ].

    2. Defina-se uma função tex2html_wrap1470 por

      onde tex2html_wrap1471 foi definida na alínea anterior. Assuma que tex2html_wrap1467 ou tex2html_wrap1473 . Logo tex2html_wrap1474 ou tex2html_wrap1475 .

      [Sugestão: Se Z: tex2html_wrap1467 e T: tex2html_wrap1477 , então tex2html_wrap1478 é tex2html_wrap1479 . Seja X: tex2html_wrap1474 ; F: tex2html_wrap1481 ; S: tex2html_wrap1475 ].

    3. Seja tex2html_wrap1470 a função definida acima. Assuma que nem tex2html_wrap1481 nem tex2html_wrap1475 . Logo tex2html_wrap1474 .
  8. Se tex2html_wrap1464 é contínua em tex2html_wrap1488 , então tex2html_wrap1464 tem um máximo em tex2html_wrap1490 se estiver definida em tex2html_wrap1491 . Se tex2html_wrap1464 não estiver definida em tex2html_wrap1491 , então existe um ponto tex2html_wrap1494 entre tex2html_wrap1491 e tex2html_wrap1496 tal que tex2html_wrap1497 para todo o tex2html_wrap888 . Se existe um tal ponto tex2html_wrap1494 entre tex2html_wrap1491 e tex2html_wrap1496 tal que tex2html_wrap1497 para todo o tex2html_wrap888 , então tex2html_wrap1464 tem um máximo em tex2html_wrap1490 .
    1. Logo tex2html_wrap1464 tem um máximo em tex2html_wrap1490 .
    2. Logo, se tex2html_wrap1464 é contínua em tex2html_wrap1488 , então tex2html_wrap1464 tem um máximo em tex2html_wrap1490 .
    [Use as letras C, M, D, B para as proposições atómicas].
  9. Uma condição necessária para tex2html_wrap1464 ter um máximo em tex2html_wrap1490 é que tex2html_wrap1464 seja contínua em tex2html_wrap1488 e tex2html_wrap1464 esteja definida em tex2html_wrap1491 . Uma condição necessária e suficiente para tex2html_wrap1464 ter um máximo em tex2html_wrap1490 é que exista um ponto tex2html_wrap1494 entre tex2html_wrap1491 e tex2html_wrap1496 tal que tex2html_wrap1497 para todo o tex2html_wrap888 . De facto, existe um ponto tex2html_wrap1494 entre tex2html_wrap1491 e tex2html_wrap1496 tal que tex2html_wrap1497 para todo o tex2html_wrap888 . Logo tex2html_wrap1464 é contínua em tex2html_wrap1488 e tex2html_wrap1464 está definida em tex2html_wrap1491 . [Use as letras do problema 9].
  10. Se tex2html_wrap1534 é substituído por um e dois na desigualdade tex2html_wrap1535 , obtemos tex2html_wrap1536 e tex2html_wrap1537 , respectivamente. Contudo tex2html_wrap1538 , mas tex2html_wrap1537 . Logo não substituímos tex2html_wrap1534 por um na desigualdade tex2html_wrap1535 , mas sim por dois. [Use as letras A, B, C: tex2html_wrap1536 , e D: tex2html_wrap1537 para as proposições atómicas].
  11. Se tex2html_wrap1534 é substituído por um e dois na desigualdade tex2html_wrap1535 , obtemos tex2html_wrap1536 e tex2html_wrap1537 , respectivamente. Contudo não se tem tex2html_wrap1536 mas tex2html_wrap1537 . Logo não substituímos tex2html_wrap1534 por um e por dois na desigualdade tex2html_wrap1535 . [Use as letras do problema 11].
H.
Dê uma prova formal de cada um dos argumentos válidos seguintes.
  1. Premissas: tex2html_wrap1552

    Conclusão: tex2html_wrap1553 .

  2. Premissas: tex2html_wrap1554

    Conclusão: tex2html_wrap1555 .

  3. Premissas: tex2html_wrap1556

    Conclusão: tex2html_wrap1557 .

  4. Premissas: tex2html_wrap1558

    Conclusão: tex2html_wrap1555 .

  5. Premissas: tex2html_wrap1560

    Conclusão: tex2html_wrap1561 .

  6. Premissas: tex2html_wrap1562

    Conclusão: tex2html_wrap1563 .

  7. Premissas: tex2html_wrap1564

    Conclusão: tex2html_wrap1565 .

  8. Premissas: tex2html_wrap1566

    Conclusão: tex2html_wrap1567 .

  9. Premissas: tex2html_wrap1568

    Conclusão: tex2html_wrap1373 .

  10. Premissas: tex2html_wrap1570

    Conclusão: tex2html_wrap1571 .

  11. Premissas: tex2html_wrap1572

    Conclusão: tex2html_wrap1573 .

  12. Premissas: tex2html_wrap1574

    Conclusão: tex2html_wrap1575 .


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Jorge Nuno Silva (Dep. Mat. FCUL)
Wed Jun 4 19:06:16 MET DST 1997