Verdade e Falsidade em Estruturas Interpretativas

Seja uma fórmula com, no máximo, n variáveis livres: . Seja S uma estrutura interpretativa para . Seja um n-uplo de elementos de , onde é o universo de S.

I.

Seja t um termo em .

Caso 1.

t é ou . Então é .

Caso 2.

t é . Então é .

II.

Seja uma fórmula atómica. Neste caso tem a forma onde são termos. Seja a interpretação de R em S e as interpretações de , respectivamente. O n-uplo satisfaz em S sse .

[No caso de não conter variáveis livres a interpretação de em S independe de , portanto todos os n-uplos satisfazem a fórmula, ou nenhum o faz].

III.

Seja obtida das fórmulas e usando conectivos. Temos os seguintes casos:

Caso 1.

é .

satisfaz em S sse não satisfaz em S.

Caso 2.

é .

satisfaz em S sse satisfaz em S ou satisfaz em S.

Caso 3.

é .

satisfaz em S sse satisfaz em S e satisfaz em S.

Caso 4.

é .

satisfaz em S sse não satisfaz em S ou satisfaz em S.

Caso 5.

é .

satisfaz em S sse satisfaz e em S ou não satisfaz nem em S.

IV

é ou . Seja . [A fórmula pode ter como variável livre; é substituído por nas interpretações abaixo].

Caso 1.

é .

satisfaz em S sse satisfaz em S para qualquer .

Caso 2.

é .

satisfaz em S sse satisfaz em S para algum .

Seja uma fórmula com, no máximo, n variáveis livres, S uma estrutura interpretativa para , o universo de S.

1.

é verdadeira em S sse qualquer n-uplo de elementos de satisfaz .

2.

é falsa em S sse nenhum n-uplo de elementos de satifaz .

[Há fórmulas que não são verdadeiras nem falsas numa estrutura interpretativa, mas nenhuma fórmula pode ser verdadeira e falsa].

Uma fórmula é válida (ou universalmente válida) se é verdadeira em todas as estruturas interpretativas para .